昨天晚上在宿舍,物理系的鄉民室友剛好在用我的電腦玩踩地雷,踩地雷原本設計只有大、中、小三種,但總覺得玩到後來沒有很有意思,只剩下「比快」的意義而已。所以我以前常玩的模式是自設的(完間調到最大,24*30,地雷設200顆,我總共只玩成功一次過),這種模式下,地雷的比例更高,所以很多時候會遇上各種障礙(比如地雷長城之類的),需要更多的思考路線模式,有時到最後沒有百分之百安全的路,會必須要考慮在不安全的路中,那個地方比較安全,以及開了之後對於整體局勢的發展性。

計算安全機率的方式,一般是從已開的部分來判斷,比如下圖的情況(x表示已開的地雷,abc是未開的),abc三個位置會出地雷的機率就各是三分之一。
                         a  b  c  
                         X  3 X
                         1  2  1


果不其然,第一次玩這種大小的室友很快被四周的地雷圍住,這時後開始要算那個點最安全。一會兒循著以上的方式來估算,發現有一個地方有四個位是四分之一的機會會炸,另一個位置則有七個位置有七分之一的機會會炸。但這四個和這七個之中有一個重疊了。詳情不是很記得,但情況大致如下:
                        x  i   j     
                        f  5  x
              a  d   g  x  x
              b  2   h  x
              c  e   x 

 也就是說,原本如果是單純的情況abcdegh是七分之一會爆,fgij是4分之一,但交疊之後就不同了,到底g會爆的機會有多大,是比四分之一大,比七分之一小還是界在中間呢。

因為我們兩個的看法不同,於是和他開始想精確的算法,本來想說不過就踩地雷的計算嘛,應該還蠻簡單一會兒就算出來了,但想了一陣子,發現事情沒有很簡單,用了幾個簡單的機率式子之後,才逐漸發現應該要引入另一個因素p,就是整個盤面在沒其他因素之下,每個位置會爆的機率(就是地雷數/盤面大小),之後假設p為接近於200/720的1/4(且假設不會因開地雷的過程而改變)的情況下,我先找出了一種算法,把所有可能情況算了考量其機率,p1 (1-p)9 /[(4-1)*(7-1)*p2(1-p) 8+ p1 (1-p)9 ]    最後算出來的機率是1/7,從一開始大約花了快一個小時,能想出來覺得還蠻得意的。

室友的思路則不同,是把取樣範圍縮小,用先看到四分之一的可能性中,在其中找出也符合七分之一的方式來計算。(算式有點複雜就恕不列出)另外再把順序對調再算一次,結果發現三種算法算出來的答案竟然不同,這在直觀上似乎非常不可思議,但看起來算法也同樣很合理,也沒有什麼方式可以說明順序和機率絕是沒關係的。之後因此又進行機率和樹狀圖的討論和思考計算,另一個室友也加入我們的討論。

最後,又過了約2個多小時,終於才發現原來是其中計算出了一點錯誤了,三種算法算出來其實結果是一樣的,果然還是直觀比較準,不過就像要證明2x3=3x2一樣困難,到最後還是很難說明,為什麼順序對於機率沒有影響。

結果,踩地雷之中的一個小小計算,就讓我們花了一整個晚上三個多小時。還真是歲月如梭啊。











              

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  • 小郁
  • 果真是歲月如梭啊
    我光看都覺得不可思議
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